Liczba doskonała to liczba naturalna równa sumie swoich dzielników mniejszych od niej samej. Liczby doskonałe fascynowały już matematyków starożytnych i do dziś kryją nierozwiązane zagadki teorii liczb.
Wybierz nauczyciela i zrób kolejny krok
Korepetytorka – Alicja Olszewska
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Korepetytor – Damian Mazur
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Korepetytorka – Agata Milewska
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Katarzyna Kaczor
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Marta Zielińska
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Mikołaj Brzeziński
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Paulina Cieślak
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Natalia Zawadzka
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęciaPrzykłady liczb doskonałych
Najmniejsza to liczba 6, bo 1 + 2 + 3 = 6. Następna to liczba 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Przykłady liczb doskonałych w matematyce uzupełniają 496 i 8128. Dzielniki liczby to wszystkie liczby, przez które dzieli się bez reszty, a suma dzielników decyduje o jej typie.
| Liczba | Dzielniki mniejsze od niej | Suma |
|---|---|---|
| 6 | 1, 2, 3 | 6 |
| 28 | 1, 2, 4, 7, 14 | 28 |
| 496 | 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 | 496 |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6 | 16 (abundancyjna) |
| 8 | 1, 2, 4 | 7 (defektywna) |
Liczby abundancyjne mają sumę dzielników większą od siebie, a liczby defektywne mniejszą. Doskonała liczba w matematyce to idealna równowaga.
Przy pracy z dzielnikami przydaje się dobra znajomość podstawowych działań. Warto więc przypomnieć sobie również, jak obliczyć iloraz oraz jakie to są liczby rzeczywiste.
Jak znaleźć liczbę doskonałą
Jak znaleźć liczbę doskonałą? Wystarczy sprawdzić kolejne liczby naturalne, ale to niewydajne. Jak obliczyć liczbę doskonałą samodzielnie? Skorzystaj z odkrycia Euklidesa: jeśli 2ᵖ – 1 jest liczbą pierwszą, to 2ᵖ⁻¹ · (2ᵖ – 1) jest doskonała. Dla p = 2 dostajemy 2 · 3 = 6, a dla p = 3 mamy 4 · 7 = 28. Związek liczb doskonałych z liczbami pierwszymi polega na tym, że liczby pierwsze postaci 2ᵖ – 1 to liczby Mersenne’a. Euler udowodnił później, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają taką postać.
We wzorach związanych z liczbami doskonałymi pojawiają się potęgi, dlatego przydatne może być również przypomnienie, czym jest potęga i jakie są prawa działań na potęgach.
Własności i nierozwiązane problemy
Właściwości liczb doskonałych, teoria: wszystkie znane są parzyste i kończą się cyfrą 6 lub 8. Czy istnieje nieparzysta liczba doskonała? Nikt jej nie znalazł ani nie udowodnił, że nie istnieje. Liczby doskonałe, lista wszystkich znanych, jest krótka: znamy ich nieco ponad 50, tyle ile liczb Mersenne’a. Zastosowanie liczb doskonałych w matematyce ma głównie teoretyczny charakter: rozwijają arytmetykę i badania nad liczbami pierwszymi.
Jak rozwijać zainteresowanie matematyką?
Dobrze wykwalifikowany korepetytor pomoże nie tylko rozumieć dzielniki i liczby pierwsze, ale też z ciekawością rozwiązywać zadania, co ułatwia przygotowanie do sprawdzianów i olimpiad. Sprawdź korepetycje z matematyki online oraz przygotowanie do olimpiady.
Dobrym uzupełnieniem może być także nauka matematyki online. Korepetycje online pozwalają regularnie rozwijać umiejętności matematyczne w wygodnej formule z domu.
FAQ
Czym jest liczba doskonała?
To liczba naturalna równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej.
Jaka jest najmniejsza liczba doskonała?
Liczba 6, ponieważ 1 + 2 + 3 = 6.
Czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe?
Żadnej nie znaleziono, ale nie udowodniono też, że nie istnieją.
Korepetycje online w Twoim mieście
Z korepetycji online mogą korzystać uczniowie z całej Polski. Sprawdź zajęcia dostępne dla uczniów w różnych miastach:
