Liczba e to jedna z najważniejszych stałych w matematyce, obok liczby π. Jej przybliżona wartość to 2,71828, ale to dopiero początek. Wyjaśniamy, czym jest stała matematyczna e, skąd się wzięła i do czego służy.
Wybierz nauczyciela i zrób kolejny krok
Monika Rybak
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Iwona Mazurek
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Patrycja Janik
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Piotr Lewandowski
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Grzegorz Sobczak
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Natalia Zawadzka
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Mikołaj Brzeziński
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęcia
Sebastian Domański
80,00 zł / 60 min
Zobacz profil i zajęciaLiczba e: definicja i wzór
Czym jest stała matematyczna e? To granica ciągu (1 + 1/n)ⁿ, gdy n rośnie do nieskończoności. Liczba e, wzór i definicja w jednym: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … Taki zapis to szereg Taylora funkcji wykładniczej. Liczba e, przybliżona wartość i obliczanie, polega na sumowaniu kolejnych wyrazów: już dziesięć daje 2,71828. Liczba e jest liczbą niewymierną, a nawet liczbą przestępną, czyli nie jest pierwiastkiem żadnego równania wielomianowego o współczynnikach całkowitych.
Liczba e jako podstawa logarytmu naturalnego
Liczba e matematyka wykorzystuje przede wszystkim jako podstawę logarytmu naturalnego: ln x to logarytm przy podstawie e. Jeśli chcesz uporządkować to zagadnienie, sprawdź również, na czym polega obliczanie logarytmów.
Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego, a funkcja wykładnicza eˣ (eksponenta) ma wyjątkową cechę: jej pochodna jest równa jej samej. Dlatego liczba Eulera, zastosowanie w matematyce i poza nią, jest tak szerokie: rachunek różniczkowy, finanse przy ciągłej kapitalizacji, opis wzrostu populacji.
Liczba e w analizie matematycznej, zastosowanie najważniejsze, to właśnie upraszczanie pochodnych i całek. To już matematyka wyższa, ale podstawy poznasz w liceum. Gdy spotkasz wzór Eulera e^(iπ) + 1 = 0, zobaczysz, jak łączy się z liczbami zespolonymi.
Historia odkrycia liczby Eulera e
Historia odkrycia liczby Eulera e zaczyna się od logarytmów Johna Napiera z początku XVII wieku. Stałą wyznaczył Jakob Bernoulli, badając procent składany, a nazwał ją i opisał Leonhard Euler w XVIII wieku.
Uwaga: stałą Eulera często nazywa się liczbę e, ale nie myl jej ze stałą Eulera-Mascheroniego γ ≈ 0,577. Stała e Eulera, przykłady zadań: oblicz ln e, e⁰ albo pochodną eˣ.
| Wielkość | Wartość |
|---|---|
| e | ≈ 2,71828 |
| ln e | 1 |
| e⁰ | 1 |
| (eˣ)’ | eˣ |
Jak zrozumieć liczbę e i jej zastosowania?
Dobrze wykwalifikowany korepetytor pomoże nie tylko zapamiętać wartość e, ale też zrozumieć logarytmy i funkcje wykładnicze, co ułatwia przygotowanie do matury i studiów technicznych. Sprawdź korepetycje do matury z matematyki.
W systematycznym utrwalaniu takich zagadnień mogą pomóc także korepetycje z matematyki online oraz nauka matematyki online. Korepetycje online pozwalają pracować nad materiałem regularnie i w wygodnej formule z domu.
FAQ
Jaka jest wartość liczby e?
Około 2,71828, a rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza.
Kto odkrył liczbę e?
Wyznaczył ją Jakob Bernoulli, a opisał i nazwał Leonhard Euler.
Czy liczba e jest liczbą niewymierną?
Tak, a ponadto jest liczbą przestępną.
Korepetycje online w Twoim mieście
Z korepetycji online mogą korzystać uczniowie z całej Polski. Sprawdź zajęcia dostępne dla uczniów w różnych miastach:
