Równania i nierówności to podstawowe zagadnienia matematyki i algebry, wykorzystywane zarówno w szkole, jak i w codziennym życiu. Równanie pozwala znaleźć wartość niewiadomej, dla której dwie strony wyrażenia są sobie równe, natomiast nierówność pokazuje zależność typu „większe”, „mniejsze”, „większe lub równe” albo „mniejsze lub równe”. Rozwiązywanie równań i nierówności jest jedną z najważniejszych umiejętności matematycznych, a w jej szybkim i bezstresowym opanowaniu mogą pomóc profesjonalne korepetycje online.
Co to są równania?
Równanie to wyrażenie matematyczne zawierające znak równości „=”. W równaniu występuje zazwyczaj niewiadoma, czyli liczba, którą należy obliczyć.
Przykład równania: 2x + 5 = 11
W tym przykładzie:
- x to niewiadoma,
- liczby 2 i 5 są współczynnikami,
- rozwiązaniem równania jest liczba spełniająca równość.
Przenosimy wszystkie elementy równania niezawierające zmiennej („x”) na drugą stronę zmieniając znaki na przeciwne: 2x = 11 – 5 2x = 6
Dzielimy obie strony równania przez współczynnik przy niewiadomej (w naszym konkretnym przypadku jest to 2). 2x = 6 | :2 x = 3
Odpowiedź: rozwiązaniem równania jest x = 3.
W przypadku równań obie strony można mnożyć lub dzielić przez te same liczby – do obydwu stron można też dodawać lub odejmować te same liczby. Strony można też pierwiastkować, podnosić do potęgi, logarytmować itp.
Jeżeli: a = b jest zdaniem prawdziwym, to oznacza również że:
- a – b = 0
- a + n = b + n
- a – n = b – n
- a * n = b * n
- a / n = b / n (dla n ≠ 0)
- logₙ(a) = logₙ(b)
Powyższe działania również są zdaniami prawdziwymi. Każde równanie, które można sprowadzić do ogólnej formy w postaci: ax + b = 0, nazywamy równaniem liniowym.
Dodatkowo możliwym jest wyodrębnienie kilku rodzajów równań liniowych:
- oznaczone – posiadające dokładnie jedno rozwiązanie,
- tożsamościowe (nieoznaczone) – jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań,
- sprzeczne – jeżeli nie ma rozwiązań.
Co to są nierówności?
Nierówność to zapis matematyczny zawierający znak:
- < (mniejsze od),
- > (większe od),
- ≥ (większe lub równe),
- ≤ (mniejsze lub równe).
Przykładem nierówności liniowej jest np.: 3x – 2 > 7
Zasady działania są podobne jak przy równaniach – zaczynamy od przeniesienia wszystkiego poza niewiadomą na drugą stronę (pamiętając o zmianie znaków na przeciwne!): 3x > 7 + 2 3x > 9
Dzielimy obie strony przez 3: 3x > 9 | :3 x > 3
Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest każdy „x” większy od 3; taką odpowiedź zapisujemy jako: x ∈ (3, +∞)
UWAGA! W przypadku nierówności „większe lub równe” (≥) oraz „mniejsze lub równe” (≤) musimy pamiętać o domykaniu zbiorów: x ≥ 3 x ∈ ⟨3, +∞)
Dodatkowo przy mnożeniu/dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy kierunek nierówności na przeciwny: x ≥ 3 | *(-1) -x ≤ -3
Na koniec zobaczmy, jak możemy przedstawić zbiór rozwiązań nierówności x ≥ 3 (czyli x ∈ ⟨3, +∞)) w postaci graficznej:
PAMIĘTAJ: by podkreślić, że początek zbioru rozwiązań nierówności również należy do tego zbioru (zbiór jest domknięty znakami „≤” i/lub „≥”), jego graficzna reprezentacja na osi musi przedstawiać zamalowany (zakreślony) punkt.
Jakie mogą być rodzaje równań i nierówności?
W zależności od tego z jaką potęgą niewiadomej mamy do czynienia (pierwszą, drugą, trzecią itd.), możemy rozróżniać równania/nierówności liniowe (x¹), kwadratowe (x²), trzeciego stopnia (x³) itd.
Sprawdź korepetycje z matematyki online!
Czym są układy równań?
Układy równań to zestawy skompilowane z co najmniej dwóch równań – w takiej sytuacji możemy mieć do czynienia z więcej niż jedną niewiadomą. Wygląda to następująco:
Plaintext
{ x + y = 10
{ 2x - y = 12
Tego typu specyficzne sytuacje można rozwiązywać na kilka sposobów:
- metodą podstawiania,
- metodą przeciwnych współczynników,
- metodą graficzną.
Poniżej zostanie przedstawiona metoda podstawiania: Transformujemy pierwsze równanie tak, żeby otrzymać jasną definicję jednej niewiadomej: x = 10 – y
Dzięki temu drugie równanie może otrzymać formę: 2(10 – y) – y = 12 20 – 2y – y = 12 -3y = 12 – 20 -3y = -8 | :(-3) y = 8/3
Mając zdefiniowaną drugą niewiadomą, możemy indukcyjnie zdefiniować pierwszą niewiadomą: x = 10 – 8/3 x = 30/3 – 8/3 x = 22/3 (czyli 7 i 1/3)
Przy rozwiązywaniu układów równań czasami przydaje się technika tzw. „dodawania stronami”:
Plaintext
{ x + y = 10
{ 2x + 3y = 50
Po dodaniu stronami otrzymalibyśmy jedno równanie: 3x + 4y = 60.
Jednak dodawanie stronami ma szczególne wykorzystanie przy metodzie przeciwnych współczynników. Spójrzmy na taki przykład, w którym mnożymy pierwsze równanie tak, aby pozbyć się „y”:
Plaintext
{ -x - y = -10 | *3
{ 2x + 3y = 50
{ -3x - 3y = -30
{ 2x + 3y = 50
Po dodaniu stronami: -3x – 3y + 2x + 3y = -30 + 50 -x = 20 | :(-1) x = -20
Pozostałą zmienną można poznać poprzez klasyczną metodę podstawiania.
Czym jest wartość bezwzględna?
Wartość bezwzględną definiuje się jako odległość danej liczby od początku osi liczbowej (zera) – innymi słowy jest to wartość tej liczby nieuwzględniająca znaku tej liczby: |x| = |-x| = x (dla x ≥ 0)
Czym jest równanie kwadratowe?
Równaniem kwadratowym nazywamy każde równanie zawierające niewiadomą X w drugiej potędze o postaci ogólnej: ax² + bx + c = 0 gdzie a, b, c to dowolne liczby rzeczywiste oraz dla a ≠ 0.
Jak rozwiązywać równania kwadratowe?
Do rozwiązywania równań kwadratowych niezbędnym jest zlokalizowanie tzw. wyróżnika Δ (delta): Δ = b² – 4ac
Rozwiązaniami równań kwadratowych są tzw. miejsca zerowe (pierwiastki). Miejsca zerowe można wyznaczyć z poniższych wzorów: x₁ = (-b – √Δ) / 2a x₂ = (-b + √Δ) / 2a
Zastosowanie równań i nierówności w praktyce
Równania i nierówności mają wiele praktycznych zastosowań. Wykorzystuje się je między innymi w:
- ekonomii,
- fizyce,
- informatyce,
- budownictwie,
- analizie danych,
- programowaniu,
- finansach,
- statystyce.
Dlaczego warto uczyć się równań i nierówności?
Rozwiązywanie równań i nierówności rozwija logiczne myślenie i pomaga rozwiązywać problemy matematyczne. To podstawa dalszej nauki algebry, matematyki rozszerzonej, fizyki i informatyki.
Znajomość równań:
- ułatwia analizę danych,
- pomaga rozumieć zależności matematyczne,
- rozwija umiejętności analityczne,
- przygotowuje do egzaminów szkolnych i matury.
